En géométrie euclidienne, le calcul de la surface d’une figure est un problème souvent posé aux élèves. D’ailleurs, la connaissance de la formule peut être utile dans de nombreux domaines de la vie quotidienne. C’est pourquoi, on vous montre dans ce guide comment déterminer l’aire d’un cercle, grâce à une méthode simple.
Surface d’un cercle : qu’est-ce que c’est ?
Tout d’abord, un cercle est une figure géométrique constituée par plusieurs points, se rejoignant en un seul qu’on appelle le centre. Il prend la forme d’une courbe plane fermée. Comme toute figure plane, il dispose d’un périmètre et d’une aire. Cette dernière désigne la surface occupée par le disque. Elle ne peut être définie qu’en suivant une formule.
Un cercle de centre O et de rayon R est défini par l’ensemble des points d’une distance avec le centre égale au rayon du cercle. L’ensemble de ces mêmes points forme la circonférence du cercle. Par ailleurs, le disque qui correspond à ce cercle comporte tous les points qui sont inscrits dedans, ainsi que sur sa circonférence. C’est pourquoi, il est plus approprié de parler de l’aire d’un disque et non de l’aire d’un cercle ou de la surface d’un cercle.
Formule pour calculer la surface d’un cercle
Pour déterminer la surface d’un cercle, il faut multiplier le rayon par le rayon, puis par pi, ce qui donne la formule suivante :
Aire d’un cercle = rayon x rayon x n
Exemple
Pour un cercle de rayon 6 cm, l’aire est égale à 6 x 6 x 3,14, ce qui donne 113,04 cm2. On peut l’exprimer comme suit :
Aire du cercle = 6 x 6 x 3,14
= 36 x 3,14
= 113,04
Il faut noter que c’est la formule de base utilisée pour le calcul de la surface d’un cercle. Ainsi, si le rayon est inconnu, mais que le diamètre est indiqué, il suffit de le diviser par deux pour avoir la longueur du rayon. La surface s’exprime toujours en m2, en cm2 ou en dm2, etc.
Différence entre rayon et diamètre
Un cercle se compose de deux éléments essentiels :
- Le rayon
- Le diamètre
Le rayon
C’est le segment qui joint un point du cercle à son centre. On le note par « R » ou « r ». Le rayon est aussi la distance la plus courte qui relie un point du cercle à son centre. Il est possible de déterminer sa longueur si l’aire du cercle est connue. Pour cela, il faut l’isoler à partir de la formule de cette dernière. Voici un exemple pour mieux le comprendre :
Comment déterminer le rayon R d’un disque d’une surface de 153,94 cm2 ? On part de la formule suivante :
Aire du disque = nr2
153,94 = nr2
153,94 / n = nr2 / n
49 = r2
√49=√r2
7=r
Le rayon du disque est donc de 7 cm.
Le diamètre
Il s’agit du segment qui joint deux points diamétralement opposés d’un cercle. Autrement dit, le segment doit passer par le centre de ce dernier. On le note par « D » ou « d ». Dans le cas où l’un des deux est connu, il est possible de déterminer la valeur de l’autre, comme énoncé plus haut. Pour trouver le diamètre d’un cercle, il vous suffit de multiplier le rayon par 2.
Ces deux notions sont importantes pour déterminer la taille d’un cercle ou tout autre calcul concernant celui-ci. Il faut noter que le rayon et le diamètre sont des lignes droites. Si un point du cercle rejoint un autre point du cercle par une ligne droite, mais qu’elle ne passe pas par le centre, on la désigne par « corde ».
Calculer la surface d’un demi-cercle
Un demi-cercle désigne un arc délimité par deux points du cercle, ces derniers étant les extrémités d’un diamètre D. Un cercle et un demi-cercle ont le même rayon, le même centre et le même diamètre. C’est pourquoi, pour obtenir la surface de ce dernier, il suffit de diviser l’aire du cercle par 2. On obtient alors la formule suivante :
Aire d’un demi-cercle = (n x r2) / 2
Exemple
Reprenons le même exemple que tout à l’heure. Pour un demi-cercle de rayon 6 cm, l’aire est de 113,04 cm2. Donc, l’aire du demi-cercle est de 56,02 cm2. Autrement dit :
Aire du demi-cercle = (3,14 x 62) / 2
= 56,02
Ainsi, il est très facile de déterminer la surface d’un cercle ou l’aire d’un disque. Il vous suffit de suivre les formules décrites à la lettre. Notons que la connaissance de ces méthodes de calcul peut être utile au quotidien, même si vous ne travaillez pas dans un domaine directement lié à la géométrie.
